El coeficiente de correlación de Pearson, que se escribe r, mide la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables numéricas. Vale entre −1 y 1: r = 1 indica que todos los puntos caen sobre una recta ascendente; r = −1, sobre una recta descendente; r = 0, que no hay tendencia lineal. Es la covarianza dividida entre el producto de las dos desviaciones estándar, por eso no tiene unidades y no cambia si mides en centímetros o en pulgadas. Esta página se centra en cómo calcularlo; para su interpretación general y la diferencia entre correlación y causalidad, consulta correlación.
Fórmulas
La primera fórmula usa desviaciones respecto a la media y es la más clara para entender qué mide. La segunda usa solo sumas de los datos y es la cómoda para calcular a mano o con calculadora.
r = Σ (x − x̄)(y − ȳ)√[ Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)² ] = nΣxy − ΣxΣy√[ (nΣx² − (Σx)²)(nΣy² − (Σy)²) ]
Cómo se calcula
- Haz una tabla con las columnas x, y y, según la fórmula, las desviaciones o los productos xy, x² y y².
- Suma cada columna.
- Calcula el numerador (suma de productos cruzados).
- Calcula el denominador (raíz del producto de las sumas de cuadrados).
- Divide. En Excel:
=COEF.DE.CORREL(rango_x;rango_y)o=PEARSON(rango_x;rango_y).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: con desviaciones
Cinco alumnos estudiaron 1, 2, 3, 4 y 5 horas y sacaron 5, 6, 6, 8 y 9. Medias: 3 horas y 6.8 puntos.
| x − 3 | y − 6.8 | Producto | (x − 3)² | (y − 6.8)² |
|---|---|---|---|---|
| −2 | −1.8 | 3.6 | 4 | 3.24 |
| −1 | −0.8 | 0.8 | 1 | 0.64 |
| 0 | −0.8 | 0 | 0 | 0.64 |
| 1 | 1.2 | 1.2 | 1 | 1.44 |
| 2 | 2.2 | 4.4 | 4 | 4.84 |
| Σ | 10 | 10 | 10.8 |
r = 10 ÷ √(10 × 10.8) = 10 ÷ 10.39 ≈ 0.96. Una relación lineal positiva muy fuerte (en estos cinco datos ilustrativos).
Ejemplo 2: con la forma de sumas
Seis datos: x = 2, 4, 5, 7, 8, 10 y y = 3, 5, 4, 8, 9, 11.
- Σx = 36, Σy = 40, Σxy = 284, Σx² = 258, Σy² = 316, n = 6.
- Numerador: 6 × 284 − 36 × 40 = 1,704 − 1,440 = 264.
- Denominador: √[(6 × 258 − 36²)(6 × 316 − 40²)] = √(252 × 296) = √74,592 ≈ 273.1.
- r = 264 ÷ 273.1 ≈ 0.97.
Ejemplo 3: r = 0 con una relación perfecta
Los puntos (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4) cumplen exactamente y = x². Sin embargo, la suma de productos de desviaciones es cero y r = 0.
Pearson solo detecta relaciones en línea recta. Una relación curva, en forma de U, le resulta invisible. Grafica siempre antes de calcular.
Cómo interpretar el valor
Como orientación (no como regla), en ciencias sociales suele hablarse de correlación débil por debajo de 0.3 en valor absoluto, moderada entre 0.3 y 0.7 y fuerte por encima de 0.7. En física o en control de calidad, 0.7 puede considerarse bajo. El cuadrado de r es el coeficiente de determinación: con r = 0.96, r² ≈ 0.93, es decir, la recta explica cerca del 93 % de la variación de y.
Con pocos datos, valores altos de r pueden salir por azar. Con n = 5, un r de 0.88 apenas alcanza la significancia al 5 % (dos colas); con n = 100, basta un r cercano a 0.2.
Cuándo no usarlo
- Con relaciones curvas (ejemplo 3) o con tendencia que se aplana.
- Con atípicos influyentes: un solo punto lejano puede crear o destruir una correlación. La correlación de Spearman es más resistente.
- Con datos ordinales (rangos, escalas de satisfacción): usa Spearman.
- Con grupos mezclados: dos nubes separadas pueden producir un r alto aunque dentro de cada grupo no haya relación.
Errores comunes
- Mezclar en la forma de sumas Σx² con (Σx)².
- Redondear las medias antes de calcular desviaciones y acumular error.
- Leer r = 0.5 como «la mitad de los casos se relaciona»: r no es un porcentaje; r² sí se interpreta como proporción de varianza explicada.
- Calcular r sobre promedios de grupos (por estado, por escuela) y aplicarlo a individuos: suele exagerar la relación.