En una prueba de hipótesis hay dos maneras de equivocarse. El error tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera: es un falso positivo, como concluir que un medicamento funciona cuando no hace nada. El error tipo II consiste en no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa: un falso negativo, como no detectar un efecto que sí existe. La probabilidad del primero se llama α (alfa) y la fija quien diseña la prueba, casi siempre en 5 %. La probabilidad del segundo se llama β (beta), y su complemento, 1 − β, es la potencia: la probabilidad de detectar un efecto cuando existe.
| La hipótesis nula es verdadera | La hipótesis nula es falsa | |
|---|---|---|
| Rechazas la nula | Error tipo I (probabilidad α) | Decisión correcta (potencia, 1 − β) |
| No rechazas la nula | Decisión correcta (1 − α) | Error tipo II (probabilidad β) |
Una analogía útil es un juicio: la hipótesis nula es «el acusado es inocente». Condenar a un inocente es un error tipo I; absolver a un culpable es un error tipo II. El sistema se diseña para que el primero sea raro, aun a costa de que el segundo ocurra más.
Fórmulas
Para una prueba z de una cola sobre una media (rechazar si x̄ queda por debajo de un corte):
corte = μ₀ − zα · σ√n · β = P( x̄ ≥ corte | μ = μ₁ ) · potencia = 1 − β
Cómo calcular β y la potencia
- Fija α y calcula el corte de rechazo bajo la hipótesis nula.
- Elige un valor alternativo concreto μ₁: el efecto más pequeño que te importaría detectar.
- Calcula la probabilidad de no rechazar (caer del lado de «no rechazo» del corte) si la media verdadera fuera μ₁: eso es β.
- La potencia es 1 − β. Si es baja (menos de 80 %, por convención), aumenta n.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: potencia de un control de llenado
Una máquina debe llenar bolsas con media 500 g; la desviación del proceso es 4 g. Cada hora se pesan 16 bolsas y se detiene la línea si el promedio indica que la media bajó (prueba de una cola, α = 0.05).
- Error estándar: 4 ÷ √16 = 1 g. Corte: 500 − 1.645 × 1 = 498.355 g.
- Si la media real bajó a 498 g: β = P(x̄ ≥ 498.355) = P(Z ≥ 0.355) ≈ 0.361. Potencia ≈ 0.64.
Un desajuste de 2 gramos pasa inadvertido más de un tercio de las horas.
Con 64 bolsas por hora: error estándar 0.5 g, corte 500 − 1.645 × 0.5 ≈ 499.18 g, y β = P(Z ≥ 2.355) ≈ 0.009. La potencia sube a 99 %. Cuadruplicar la muestra casi elimina el error tipo II para ese desajuste, sin cambiar α.
Ejemplo 2: muchas pruebas, muchos falsos positivos
Un equipo compara 20 indicadores entre dos sucursales, cada uno con α = 0.05, y en realidad no hay ninguna diferencia.
P(al menos un falso positivo) = 1 − 0.95²⁰ ≈ 0.64.
Casi dos de cada tres veces aparecerá al menos una diferencia «significativa» que no existe. Correcciones como la de Bonferroni (usar α/20 = 0.0025 en cada prueba) devuelven la probabilidad conjunta a cerca de 5 %, a cambio de menos potencia en cada indicador.
El equilibrio entre ambos errores
Con el mismo tamaño de muestra, reducir α (exigir más evidencia) aumenta β. La única forma de reducir ambos a la vez es más datos o menos ruido en la medición. Por eso el tamaño de muestra se calcula antes del estudio a partir de α, la potencia deseada y el efecto mínimo relevante. Qué error es más grave depende del contexto: en control de calidad de alimentos, un error tipo II (dejar pasar un lote contaminado) suele ser peor que un tipo I (descartar un lote bueno).
Cuándo no aplicar este marco
- En análisis exploratorios sin una hipótesis previa: hablar de α carece de sentido si las hipótesis se eligen después de mirar los datos.
- Cuando lo que importa es el tamaño del efecto y no una decisión sí/no: un intervalo de confianza informa más.
Errores comunes
- Creer que α es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera. Es la probabilidad de rechazarla si fuera verdadera.
- Interpretar un resultado no significativo de un estudio con poca potencia como prueba de que no hay efecto.
- Confundir el valor p de un estudio con α.
- Calcular la potencia después del estudio con el efecto observado («potencia post hoc»): no añade información.