El teorema del límite central (TLC) afirma que, si tomas muestras aleatorias de tamaño n de casi cualquier población con media μ y desviación estándar σ finitas, la distribución de la media muestral se parece cada vez más a una distribución normal con media μ y desviación estándar σ ÷ √n a medida que n crece. Lo notable es que no importa la forma de los datos originales: pueden ser asimétricos, discretos o tener varios picos, y aun así sus promedios forman una campana. Por eso las fórmulas de intervalos de confianza y pruebas basadas en la normal funcionan con medias de datos que no son normales.
Qué dice exactamente
x̄ ≈ Normal( μ, σ√n )
Equivalentemente, la versión estandarizada z = (x̄ − μ) ÷ (σ ÷ √n) se aproxima a una normal estándar. Tres ideas lo resumen:
- El centro no cambia: el promedio de las medias muestrales es μ.
- La dispersión se reduce: las medias varían σ ÷ √n, cada vez menos al crecer n.
- La forma se vuelve normal: con n suficientemente grande, sin importar la forma original.
No hay que confundirlo con la ley de los grandes números, que dice que x̄ se acerca a μ. El TLC va más lejos: describe cómo se distribuyen los errores alrededor de μ.
¿Qué tan grande debe ser n?
- Si los datos ya son casi simétricos, con n = 10 o 15 la aproximación suele ser buena.
- Con asimetría moderada, la regla habitual de n ≥ 30 funciona razonablemente.
- Con asimetría fuerte (ingresos, montos de reclamos de seguros), puede hacer falta n de cientos.
- Para proporciones, se pide que n·p y n·(1 − p) sean ambos al menos 10.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: el promedio de 30 dados
Un dado tiene distribución uniforme: cada cara, 1/6. Media μ = 3.5; varianza σ² = 35 ÷ 12 ≈ 2.92; σ ≈ 1.708. La distribución de un dado es plana, nada parecida a una campana.
Lanzas 30 dados y calculas el promedio. Según el TLC:
- Media del promedio: 3.5.
- Error estándar: 1.708 ÷ √30 ≈ 0.312.
- ¿Qué tan probable es que el promedio supere 4? z = (4 − 3.5) ÷ 0.312 ≈ 1.60, y la probabilidad normal por encima de 1.60 es de 5.4 %.
Un solo dado da más de 4 (es decir, 5 o 6) el 33 % de las veces. El promedio de 30 dados casi nunca se aleja tanto de 3.5.
Ejemplo 2: tiempos de espera muy asimétricos
El tiempo entre llamadas a un centro de atención sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos y desviación estándar de 10 minutos: la mayoría de las esperas son cortas y unas pocas, muy largas.
Un supervisor toma 50 esperas al azar. ¿Qué tan probable es que el promedio supere 12 minutos?
- Error estándar: 10 ÷ √50 ≈ 1.414.
- z = (12 − 10) ÷ 1.414 ≈ 1.41.
- Probabilidad aproximada: 7.9 %.
El cálculo exacto (la suma de exponenciales sigue una distribución gamma) da una probabilidad algo mayor, cerca de 8.4 %, porque con datos tan sesgados la media de 50 todavía conserva un poco de cola derecha. La aproximación normal es útil, pero no perfecta, en estos casos.
Cuándo no aplica
- Con distribuciones sin varianza finita, como la de Cauchy o algunas leyes de potencia extremas: el promedio no se estabiliza nunca.
- Si las observaciones no son independientes: datos en el tiempo con mucha autocorrelación o alumnos del mismo salón requieren ajustes.
- Para describir los datos individuales: el TLC habla de la distribución de las medias, no de los datos. Los ingresos de 10,000 personas siguen siendo asimétricos; solo su media se comporta como normal.
- Para medianas, máximos o varianzas: tienen sus propios resultados asintóticos, con otras fórmulas.
Errores comunes
- Creer que con n ≥ 30 «los datos se vuelven normales».
- Usar σ en lugar de σ ÷ √n al calcular probabilidades sobre un promedio.
- Aplicar la regla de 30 a datos muy sesgados o con valores extremos y confiar en el resultado sin revisarlo.
- Pensar que el TLC corrige muestras no aleatorias: solo describe el error por azar.
Puedes ver el error estándar para cualquier n con la calculadora de error estándar. La distribución muestral explica con más detalle cómo se construye la distribución de un estadístico.