La distribución normal, también llamada campana de Gauss, es una distribución de probabilidad continua, simétrica y con forma de campana, que queda totalmente determinada por dos números: la media μ, que fija el centro, y la desviación estándar σ, que fija el ancho. En ella la media, la mediana y la moda coinciden, los valores cercanos al centro son los más probables y la probabilidad cae muy rápido conforme te alejas: solo 3 de cada 1,000 valores quedan a más de tres desviaciones de la media. Describe bien muchas mediciones físicas y errores de medición, y es la base de casi toda la estadística inferencial porque los promedios de muestras grandes se distribuyen aproximadamente así.
Fórmula
La función de densidad no se usa directamente para calcular probabilidades (habría que integrarla); en la práctica se estandariza: cualquier normal se convierte en la normal estándar, de media 0 y desviación 1, restando la media y dividiendo entre la desviación. El resultado es la puntuación z, y sus probabilidades se leen en tablas o con software.
f(x) = 1σ√(2π) e−½((x − μ)/σ)² · z = x − μσ
Regla 68-95-99.7
| Intervalo | Proporción aproximada |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68.3 % |
| μ ± 2σ | 95.4 % |
| μ ± 3σ | 99.7 % |
El intervalo exacto que contiene el 95 % es μ ± 1.96σ; de ahí sale el 1.96 de los intervalos de confianza.
Cómo calcular una probabilidad
- Dibuja la campana y sombrea la zona que te piden; evita así restar al revés.
- Convierte el o los valores a puntuación z.
- Busca en la tabla (o con
DISTR.NORM.ESTAND.N(z;VERDADERO)en Excel) la probabilidad acumulada a la izquierda de cada z. - Si te piden «más que», resta de 1; si te piden «entre», resta las dos acumuladas.
- Para el problema inverso (qué valor deja cierto porcentaje), busca primero la z y despeja x = μ + z·σ.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: probabilidad de una cola
Una máquina llena bolsas con media 500 g y desviación 4 g, con pesos normales. ¿Qué proporción de bolsas pesa menos de 492 g?
- z = (492 − 500) ÷ 4 = −2.
- La acumulada a la izquierda de z = −2 es 0.0228.
Cerca de 2.3 % de las bolsas sale por debajo de 492 g: unas 23 de cada 1,000.
Ejemplo 2: problema inverso, encontrar un corte
Un examen de admisión tiene puntajes normales con media 60 y desviación 12. La escuela admite al 15 % con mejor puntaje. ¿Cuál es el puntaje mínimo?
- Buscamos la z que deja 85 % a su izquierda: z ≈ 1.036.
- x = 60 + 1.036 × 12 ≈ 72.4 puntos.
En Excel: =INV.NORM(0.85;60;12).
Ejemplo 3: probabilidad entre dos valores
Con el mismo examen, ¿qué proporción saca entre 55 y 70?
- z₁ = (55 − 60) ÷ 12 ≈ −0.417 → acumulada 0.338.
- z₂ = (70 − 60) ÷ 12 ≈ 0.833 → acumulada 0.798.
- Probabilidad = 0.798 − 0.338 ≈ 0.459, casi el 46 %.
Cuándo no usarla
- Con datos claramente asimétricos: ingresos, tiempos de espera, tamaños de empresas o precios de vivienda. Aplicarles la regla 68-95-99.7 subestima mucho los valores extremos; la log-normal o la exponencial suelen describirlos mejor.
- Con datos acotados cerca de un límite: calificaciones con muchos 10, porcentajes cercanos a 0 % o 100 %.
- Con conteos pequeños (número de accidentes por día), que son discretos; ahí corresponden la binomial o la Poisson.
- Para estimar probabilidades de eventos extremos (más allá de 4 o 5 desviaciones): las colas reales de muchos fenómenos son más pesadas que las de la normal. Revisa la curtosis.
Errores comunes
- Olvidar que la tabla da el área a la izquierda y no restar de 1 al calcular «más que».
- Dividir entre la varianza en vez de la desviación estándar al calcular z.
- Suponer que unos datos son normales porque su histograma «se parece» a una campana con 15 observaciones.
- Creer que «normal» significa «lo esperado» o «sano»: es solo el nombre de una forma matemática.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la distribución normal aparece tanto?
Porque cuando una cantidad es la suma de muchos efectos pequeños e independientes, su distribución tiende a la normal. Eso es lo que dice el teorema del límite central, y explica por qué los promedios de muestras grandes se comportan de forma normal aunque los datos individuales no lo sean.
¿Mis datos tienen que ser normales para sacar un promedio?
No. La media se puede calcular con cualquier distribución numérica. La normalidad importa cuando usas fórmulas que la suponen, como la regla 68-95-99.7 o ciertos intervalos y pruebas con muestras pequeñas.