Una variable tiene distribución log-normal cuando su logaritmo sigue una distribución normal. Solo toma valores positivos y tiene una cola larga a la derecha: muchos valores moderados y unos pocos muy grandes. Aparece cuando una cantidad crece por efectos que se multiplican en lugar de sumarse, como ocurre con los ingresos (aumentos porcentuales acumulados), los precios de vivienda, el tamaño de las empresas o de las ciudades, y los tiempos de reparación. Su consecuencia más práctica: la media siempre queda por encima de la mediana, y la distancia entre ambas crece con la dispersión. Por eso, para estos datos, el «promedio» suele exagerar el caso típico.
Fórmulas
Si ln X tiene media μ y desviación σ (en escala logarítmica), las medidas de centro de X son:
Me = eμ · x̄ = eμ + σ²/2 · Mo = eμ − σ²
Siempre se cumple moda < mediana < media. La mediana de una log-normal coincide con su media geométrica: el promedio de los logaritmos, devuelto a la escala original.
Cómo se trabaja con ella
- Saca el logaritmo natural de cada dato (todos deben ser positivos).
- Revisa en un histograma que los logaritmos tengan forma de campana.
- Calcula la media μ y la desviación σ de los logaritmos.
- Haz los cálculos de probabilidad en escala logarítmica, con puntuaciones z.
- Regresa a la escala original con la exponencial (
EXPen Excel).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: ingresos con media y mediana separadas
Supón que los ingresos mensuales de una población ilustrativa son log-normales con mediana de 10,000 pesos (μ = ln 10,000) y σ = 0.8 en escala logarítmica.
- Mediana: 10,000 pesos.
- Media: 10,000 × e0.8²/2 = 10,000 × e0.32 ≈ 13,771 pesos.
- Moda: 10,000 × e−0.64 ≈ 5,273 pesos.
El ingreso promedio supera a la mediana en casi 38 %, y el ingreso más frecuente es apenas la mitad de la mediana. Reportar solo «el ingreso promedio es de 13,771 pesos» daría una idea muy optimista de lo que gana una persona típica.
¿Qué proporción gana más de 30,000? z = (ln 30,000 − ln 10,000) ÷ 0.8 = ln 3 ÷ 0.8 ≈ 1.373; P(Z > 1.373) ≈ 0.085, cerca del 8.5 %.
Ejemplo 2: media aritmética contra media geométrica
Cinco empresas de un parque industrial tienen 2, 4, 8, 16 y 32 empleados. Cada una duplica a la anterior, un patrón multiplicativo típico de datos log-normales.
- Media aritmética: 62 ÷ 5 = 12.4 empleados. Tres de las cinco empresas quedan por debajo de esa cifra, que no describe a ninguna.
- Media geométrica: ⁵√(2 × 4 × 8 × 16 × 32) = ⁵√32,768 = 8 empleados, que coincide con la mediana.
En datos multiplicativos, la media geométrica y la mediana describen el centro; la media aritmética describe el total repartido.
Cuándo no usarla
- Con datos que pueden ser cero o negativos: ganancias o pérdidas, cambios de temperatura, saldos. El logaritmo no existe para esos valores.
- Cuando la cola derecha es todavía más pesada: las fortunas más grandes o el tamaño de los archivos en internet suelen seguir leyes de potencia (Pareto), con extremos más frecuentes de lo que la log-normal predice.
- Con datos acotados por arriba, como porcentajes o calificaciones.
Errores comunes
- Calcular la media de los logaritmos, aplicarle la exponencial y llamarla «media». Eso es la mediana (o media geométrica); la media aritmética necesita el término σ²/2.
- Usar la regla 68-95-99.7 directamente sobre los datos originales; vale para los logaritmos.
- Comparar el ingreso medio de un país con el ingreso mediano de otro: en datos log-normales la diferencia entre ambas medidas puede ser enorme.
- Mezclar logaritmos naturales y de base 10 en el mismo cálculo.