La distribución t de Student es una distribución simétrica con forma de campana, parecida a la normal estándar pero con colas más gruesas, que aparece cuando se estandariza una media usando la desviación estándar de la muestra en lugar de la de la población. Esa sustitución añade incertidumbre, sobre todo con pocos datos, y la t la incorpora: con muestras pequeñas da intervalos más anchos que la normal. Su forma depende de un solo parámetro, los grados de libertad (gl), que para una media son n − 1. Conforme los grados de libertad crecen, la t se acerca a la normal hasta volverse prácticamente igual. La publicó en 1908 William Sealy Gosset, químico de la cervecería Guinness, con el seudónimo «Student».
Fórmula
El estadístico que sigue una t es la distancia entre la media muestral y la media poblacional, medida en errores estándar estimados:
t = x̄ − μs / √n (gl = n − 1)
Si en el denominador estuviera σ (conocida), el resultado sería una normal estándar. Como s varía de una muestra a otra, a veces sale menor que σ y el cociente se agranda: de ahí las colas gruesas.
Valores críticos más usados
Para un intervalo de 95 % (dos colas, 2.5 % en cada una):
| gl | t crítico | Comparación con z = 1.960 |
|---|---|---|
| 4 | 2.776 | 42 % más ancho |
| 9 | 2.262 | 15 % más ancho |
| 29 | 2.045 | 4 % más ancho |
| 99 | 1.984 | 1 % más ancho |
Cómo leer la tabla
- Calcula los grados de libertad (para una media, n − 1).
- Decide si necesitas una cola o dos y qué nivel (90 %, 95 %, 99 %).
- Busca la fila de tus gl y la columna de tu nivel; si tus gl no aparecen, toma la fila inmediata inferior, que da un valor más conservador.
- En Excel,
=INV.T.2C(0.05;9)da el valor crítico de dos colas (2.262) y=DISTR.T.CD(t;gl)la probabilidad en la cola derecha.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: valor crítico para un intervalo
Diez mediciones del tiempo de armado de un mueble dan media 52 minutos y desviación muestral 6. Para un intervalo de 95 %: gl = 9 y t = 2.262.
- Error estándar: 6 ÷ √10 ≈ 1.897.
- Margen: 2.262 × 1.897 ≈ 4.29 minutos.
- Intervalo: de 47.7 a 56.3 minutos.
Con z = 1.96 el margen habría sido 3.72 minutos: un intervalo 13 % más estrecho que aparentaría una precisión que diez datos no dan.
Ejemplo 2: probabilidad en una cola
Con 9 grados de libertad, ¿qué probabilidad hay de obtener un valor t mayor que 2.5?
- En la t con 9 gl: P(T > 2.5) ≈ 0.017.
- En la normal estándar: P(Z > 2.5) ≈ 0.006.
La t asigna casi el triple de probabilidad a ese valor extremo. Si usaras la normal con una muestra de 10, declararías «poco probable» algo que en realidad ocurre casi tres veces más seguido de lo que crees, y concluirías con demasiada seguridad en una prueba t.
Cuándo no usarla
- Con muestras pequeñas de datos muy asimétricos o con atípicos. La t supone que los datos provienen de una población aproximadamente normal; con n = 8 y un valor extremo, el resultado no es confiable. Considera métodos basados en la mediana o el bootstrap.
- Cuando conoces σ de verdad (por ejemplo, por especificaciones de una máquina calibrada con miles de mediciones): usa la normal.
- Para proporciones. Los intervalos de una proporción se construyen con la normal (o con métodos exactos), no con la t.
Errores comunes
- Usar n en lugar de n − 1 como grados de libertad.
- Tomar el valor de una cola cuando el intervalo es de dos (o al revés): con 9 gl, 1.833 es el de una cola al 95 % y 2.262 el de dos colas.
- Creer que con n ≥ 30 «ya es normal» y usar 1.96 siempre: con 29 gl el valor es 2.045. La diferencia es pequeña, pero los programas usan la t y tus resultados no coincidirán.
- Confundir la distribución t con la prueba t: la prueba es un procedimiento que usa esta distribución como referencia.