La prueba t es una prueba de hipótesis para comparar medias cuando la desviación estándar de la población no se conoce y se estima con los datos. Se basa en la distribución t de Student, que se parece a la normal pero tiene colas más gruesas, para compensar la incertidumbre extra de estimar σ. Hay tres versiones principales: la de una muestra (¿la media difiere de un valor de referencia?), la de muestras pareadas (¿cambió la media de las mismas personas entre antes y después?) y la de dos muestras independientes (¿difieren las medias de dos grupos distintos?). Con muestras grandes, sus resultados se acercan a los de la prueba z.
Fórmulas
Una muestra: t = x̄ − μ₀s / √n, gl = n − 1
Pareada: t = d̄sd / √n, gl = n − 1
Welch: t = x̄₁ − x̄₂√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
Los grados de libertad de Welch se calculan con una fórmula de aproximación (Welch-Satterthwaite) y no suelen ser enteros. La versión «clásica» de dos muestras supone varianzas iguales y usa gl = n₁ + n₂ − 2; la de Welch no necesita ese supuesto y es la recomendada por defecto.
Cómo elegir la versión
- ¿Comparas con un valor fijo? Una muestra.
- ¿Cada dato de un grupo tiene una pareja natural en el otro (la misma persona antes y después, gemelos, ojo izquierdo y derecho)? Pareada.
- ¿Son personas o unidades distintas en cada grupo? Dos muestras independientes, con Welch.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: antes y después de un curso (pareada)
Seis alumnos presentaron un examen antes y después de un curso:
| Alumno | Antes | Después | Diferencia |
|---|---|---|---|
| 1 | 6.5 | 7.0 | 0.5 |
| 2 | 7.0 | 7.8 | 0.8 |
| 3 | 5.5 | 6.1 | 0.6 |
| 4 | 8.0 | 8.2 | 0.2 |
| 5 | 6.0 | 6.9 | 0.9 |
| 6 | 7.5 | 7.6 | 0.1 |
- Media de las diferencias: d̄ ≈ 0.517. Desviación estándar: sd ≈ 0.319.
- Error estándar: 0.319 ÷ √6 ≈ 0.130.
- t = 0.517 ÷ 0.130 ≈ 3.97, con 5 grados de libertad.
- Valor t crítico bilateral al 5 % con 5 gl: 2.571. Como 3.97 > 2.571, se rechaza H₀. Valor p ≈ 0.011.
Los seis alumnos mejoraron, aunque poco; como cada uno se compara consigo mismo, la variación entre alumnos desaparece y la prueba detecta el cambio. Sin grupo de comparación, no se puede atribuir toda la mejora al curso (podría ser práctica o regresión a la media).
Ejemplo 2: dos grupos independientes (Welch)
Grupo A: 10 alumnos, media 82, s = 6. Grupo B: 12 alumnos, media 76, s = 9.
- Términos de varianza: 6² ÷ 10 = 3.6 y 9² ÷ 12 = 6.75. Error estándar: √(3.6 + 6.75) ≈ 3.217.
- t = (82 − 76) ÷ 3.217 ≈ 1.87.
- Grados de libertad de Welch: ≈ 19.2.
- Valor p bilateral ≈ 0.078. No significativo al 5 %.
Con la versión de varianzas iguales se obtiene t ≈ 1.80 y p ≈ 0.087: parecido, pero no idéntico. Una diferencia de 6 puntos puede ser real, pero con estos tamaños y esta dispersión no se distingue del azar.
Supuestos
- Independencia de las observaciones (o de las parejas, en la pareada).
- Normalidad aproximada de los datos (o de las diferencias). Con n ≥ 30 por grupo, el teorema del límite central relaja este requisito; con muestras pequeñas y datos muy asimétricos, conviene una prueba no paramétrica (Wilcoxon, Mann-Whitney).
- Escala cuantitativa: no se aplica a categorías.
Cuándo no usarla
- Con más de dos grupos: hacer muchas pruebas t infla los falsos positivos; usa el análisis de varianza.
- Con datos pareados analizados como independientes (o al revés): el resultado es incorrecto.
- Con valores atípicos fuertes en muestras pequeñas: un solo dato puede decidir la prueba.
Errores comunes
- Usar la prueba de dos muestras independientes cuando los datos son de las mismas personas.
- Usar el valor crítico de la normal (1.96) con 5 grados de libertad (lo correcto es 2.571).
- Reportar solo «significativo» sin la diferencia de medias y su intervalo.
En Excel: =PRUEBA.T(A2:A7,B2:B7,2,1) da el valor p de la prueba pareada bilateral; el último argumento es 2 para varianzas iguales y 3 para Welch (en España, con ;).