El análisis de varianza, conocido como ANOVA, es una prueba estadística que compara las medias de tres o más grupos al mismo tiempo para decidir si al menos una es distinta de las demás. Aunque su objetivo son las medias, lo hace comparando dos varianzas: cuánto se separan las medias de los grupos entre sí (variación entre grupos) contra cuánto varían los datos dentro de cada grupo (variación dentro de los grupos). Si la primera es mucho mayor que la segunda, es poco probable que las diferencias entre medias se deban al azar. Se usa, por ejemplo, para comparar el rendimiento de tres métodos de enseñanza, tres fertilizantes o cuatro sucursales.
¿Por qué no hacer varias pruebas t por pares? Porque cada prueba tiene su probabilidad de falso positivo, y al acumularse inflan el error tipo I. El ANOVA hace una sola prueba global con un α controlado.
Fórmula
F = SCentre / (k − 1)SCdentro / (N − k) · SCentre = Σ nⱼ (x̄ⱼ − x̄)² · SCdentro = Σ (nⱼ − 1) sⱼ²
k es el número de grupos, N el total de datos, x̄ⱼ y sⱼ la media y la desviación del grupo j, y x̄ la media general. Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad se llama cuadrado medio. Si la hipótesis nula (todas las medias iguales) es cierta, F suele valer alrededor de 1.
Cómo se hace
- Calcula la media de cada grupo y la media general.
- Calcula la suma de cuadrados entre grupos y la de dentro de los grupos.
- Divide cada una entre sus grados de libertad (k − 1 y N − k).
- Divide los dos cuadrados medios para obtener F.
- Compara F con el valor crítico de la tabla F (o calcula el valor p). En Excel:
=DISTR.F.CD(F;k−1;N−k).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: tres métodos de estudio, con los datos completos
Doce alumnos se repartieron en tres métodos y sacaron estas calificaciones:
- Método A: 7, 8, 6, 7 (media 7)
- Método B: 9, 8, 10, 9 (media 9)
- Método C: 6, 5, 7, 6 (media 6)
Media general: 88 ÷ 12 ≈ 7.33.
| Fuente | SC | gl | Cuadrado medio | F |
|---|---|---|---|---|
| Entre grupos | 18.67 | 2 | 9.33 | 14.0 |
| Dentro de grupos | 6.00 | 9 | 0.67 | |
| Total | 24.67 | 11 |
- SC entre = 4 × [(7 − 7.33)² + (9 − 7.33)² + (6 − 7.33)²] ≈ 18.67.
- SC dentro: en cada grupo las desviaciones son 0, 1, −1 y 0, así que cada uno aporta 2; total 6.
- F = 9.33 ÷ 0.67 = 14.0. El valor crítico con (2, 9) gl al 5 % es 4.26; el valor p ≈ 0.002.
Las medias no son todas iguales. El ANOVA no dice cuál difiere: para eso se hacen comparaciones posteriores (como la prueba de Tukey). A simple vista, el método B destaca.
Ejemplo 2: tres sucursales, con datos resumidos y grupos desiguales
Una cadena midió la satisfacción (0 a 100) en tres sucursales:
| Sucursal | n | Media | Desviación |
|---|---|---|---|
| Norte | 10 | 72 | 8 |
| Centro | 12 | 78 | 9 |
| Sur | 8 | 70 | 7 |
- Media general ponderada: (10 × 72 + 12 × 78 + 8 × 70) ÷ 30 ≈ 73.87.
- SC entre = 10 × (72 − 73.87)² + 12 × (78 − 73.87)² + 8 × (70 − 73.87)² ≈ 359.5.
- SC dentro = 9 × 8² + 11 × 9² + 7 × 7² = 576 + 891 + 343 = 1,810.
- F = (359.5 ÷ 2) ÷ (1,810 ÷ 27) = 179.7 ÷ 67.0 ≈ 2.68. Valor crítico con (2, 27) gl: 3.35; valor p ≈ 0.087.
Aunque Centro supera a Sur por 8 puntos, la variación dentro de cada sucursal es grande y las muestras pequeñas: con α = 5 % no hay evidencia suficiente de que las medias difieran.
Supuestos
- Independencia de las observaciones, dentro y entre grupos.
- Normalidad aproximada de los datos en cada grupo (menos importante con grupos grandes).
- Varianzas parecidas entre grupos (homocedasticidad). Como regla práctica, preocúpate si la desviación mayor es más del doble de la menor; en ese caso existe la versión de Welch.
Cuándo no usarlo
- Con solo dos grupos: el ANOVA equivale a una prueba t (F = t²); usa la t, que además da el signo de la diferencia.
- Con datos ordinales o muy asimétricos con grupos pequeños: la alternativa no paramétrica es la prueba de Kruskal-Wallis.
- Con mediciones repetidas de las mismas personas (antes, durante, después): requiere ANOVA de medidas repetidas, no el de un factor.
Errores comunes
- Concluir cuál grupo es distinto a partir del F global.
- Usar la media simple de las medias en lugar de la media general ponderada cuando los grupos tienen distinto tamaño.
- Tomar «no significativo» como prueba de que las medias son iguales.
- Hacer muchas pruebas t sin corrección en lugar de un ANOVA seguido de comparaciones ajustadas.