Los grados de libertad (gl, o df en inglés) son el número de valores de un cálculo que pueden variar libremente una vez que se han fijado ciertas restricciones. La idea se entiende con un ejemplo: si tres números deben promediar 10, puedes elegir los dos primeros como quieras, pero el tercero queda obligado para que la suma dé 30. Hay tres datos, pero solo dos grados de libertad. En estadística, cada parámetro que estimas con los propios datos «consume» un grado de libertad. Por eso la varianza de una muestra se divide entre n − 1 y no entre n: la media muestral ya se calculó con esos datos y se lleva uno de ellos.
Fórmula
gl = n − (parámetros estimados) · s² = Σ(xᵢ − x̄)²n − 1
Dividir entre n − 1 en lugar de n se llama corrección de Bessel. La razón de fondo: las desviaciones respecto a la media muestral siempre suman cero, así que solo n − 1 de ellas aportan información independiente. Además, los datos quedan más cerca de su propia media que de la media verdadera de la población, y dividir entre n subestimaría la variación real.
Grados de libertad más comunes
| Situación | Grados de libertad |
|---|---|
| Varianza o desviación estándar de una muestra | n − 1 |
| Distribución t para una media | n − 1 |
| Prueba t de dos muestras (varianzas iguales) | n₁ + n₂ − 2 |
| Prueba ji cuadrada en una tabla de r filas y c columnas | (r − 1)(c − 1) |
| Regresión lineal simple (residuos) | n − 2 |
| ANOVA con k grupos y N datos | k − 1 entre grupos, N − k dentro |
Cómo determinarlos
- Cuenta cuántos datos (o celdas, o grupos) intervienen en el cálculo.
- Cuenta cuántas cantidades estimaste con esos mismos datos y que el cálculo da por fijas (medias, totales de fila y columna, coeficientes de una recta).
- Resta: lo que queda son los grados de libertad.
- Usa ese número para elegir la fila correcta de la tabla t, ji cuadrada o F.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: por qué n − 1 corrige el sesgo
Una población tiene tres valores: 2, 4 y 6. Su varianza poblacional es σ² = [(2 − 4)² + 0 + (6 − 4)²] ÷ 3 = 8/3 ≈ 2.67.
Toma todas las muestras posibles de 2 valores con reemplazo (son 9) y calcula la varianza de cada una de dos maneras. Para una muestra (a, b), la suma de cuadrados es (a − b)²/2. Las nueve diferencias al cuadrado suman 0 + 4 + 16 + 4 + 0 + 4 + 16 + 4 + 0 = 48.
- Dividiendo entre n = 2: el promedio de las nueve varianzas es 48 ÷ 4 ÷ 9 ≈ 1.33. Subestima σ² a la mitad.
- Dividiendo entre n − 1 = 1: el promedio es 48 ÷ 2 ÷ 9 ≈ 2.67, exactamente σ².
Con n − 1, la varianza muestral es un estimador insesgado: en promedio acierta. Con n, se queda corta sistemáticamente. Puedes ver esta misma enumeración desde el lado de las medias en distribución muestral.
Ejemplo 2: grados de libertad de una tabla de contingencia
Se cruzan tres turnos (matutino, vespertino, nocturno) con dos resultados (aprobó, reprobó). La tabla tiene 3 × 2 = 6 celdas, pero los totales de cada fila y de cada columna están fijos.
Si conoces los totales, basta llenar 2 celdas para deducir las otras 4: si conoces la primera columna de las dos primeras filas, la segunda columna de esas filas sale de los totales de fila, y la tercera fila completa sale de los totales de columna. Grados de libertad = (3 − 1) × (2 − 1) = 2.
Por qué importan
Con pocos grados de libertad hay más incertidumbre, y las distribuciones de referencia lo reflejan: el valor crítico de la t para un 95 % es 2.776 con 4 gl, pero 2.045 con 29. Usar los grados de libertad equivocados produce intervalos demasiado estrechos o pruebas que rechazan con demasiada facilidad.
Cuándo no aplicar la corrección
- Si tus datos son la población completa (todos los empleados de una empresa, todas las ventas del año): divide entre N. No estimaste nada.
- Si solo quieres describir la dispersión de esos datos concretos sin generalizar, dividir entre n también es válido; solo acláralo.
- Con muestras grandes, la diferencia entre n y n − 1 es despreciable: con 1,000 datos cambia el resultado en 0.1 %.
Errores comunes
- Usar n en lugar de n − 1 al buscar en la tabla t.
- Contar las celdas de una tabla de contingencia como grados de libertad.
- Pensar que n − 1 hace que s (la desviación estándar) sea insesgada: corrige la varianza, pero su raíz cuadrada sigue subestimando un poco a σ.
- Confundir en Excel
VAR.S(divide entre n − 1) conVAR.P(divide entre n).