La varianza mide qué tan dispersos están los datos alrededor de su media: es el promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado. Si todos los datos son iguales, la varianza es 0; cuanto más se alejan de la media, más crece. Como trabaja con cuadrados, se expresa en unidades al cuadrado (cm², pesos²), y por eso en la práctica se reporta su raíz cuadrada, la desviación estándar, que vuelve a la unidad original.
Cómo se calcula
- Calcula la media de los datos.
- A cada dato réstale la media (desviación).
- Eleva al cuadrado cada desviación, para que las negativas no cancelen a las positivas.
- Suma los cuadrados.
- Divide entre n si tus datos son toda la población, o entre n − 1 si son una muestra.
σ² = Σ (xᵢ − μ)²N
s² = Σ (xᵢ − x̄)²n − 1
¿Por qué n − 1? Las desviaciones se miden respecto a la media de la propia muestra, que siempre queda «en medio» de esos datos, y eso hace que los cuadrados salgan un poco más chicos que si se midieran respecto a la media real de la población. Dividir entre n − 1 compensa ese faltante (corrección de Bessel). La explicación detallada está en grados de libertad.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: cinco datos, paso a paso
Datos: 4, 7, 9, 10 y 15. La media es 45 ÷ 5 = 9.
| xᵢ | xᵢ − 9 | (xᵢ − 9)² |
|---|---|---|
| 4 | −5 | 25 |
| 7 | −2 | 4 |
| 9 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 |
| 15 | 6 | 36 |
| Suma | 0 | 66 |
- Si los cinco datos son toda la población: σ² = 66 ÷ 5 = 13.2.
- Si son una muestra: s² = 66 ÷ 4 = 16.5, y la desviación estándar muestral es √16.5 ≈ 4.06.
Ejemplo 2: misma media, distinta varianza
Dos máquinas llenan botellas de 500 ml. Una muestra de cuatro botellas de cada una:
- Máquina A: 498, 500, 502, 500 ml. Media 500; cuadrados 4, 0, 4, 0; s² = 8 ÷ 3 ≈ 2.67 ml².
- Máquina B: 490, 510, 495, 505 ml. Media 500; cuadrados 100, 100, 25, 25; s² = 250 ÷ 3 ≈ 83.33 ml².
Las dos llenan «en promedio» lo correcto, pero la varianza de B es más de 30 veces la de A. En control de calidad esa diferencia es la que importa: B produce botellas que se quedan cortas o se derraman.
Ejemplo 3: fórmula abreviada
Cuando tienes los datos en una calculadora sin modo estadístico, es más rápido usar la suma de cuadrados:
Σ(xᵢ − x̄)² = Σxᵢ² − n·x̄²
Con los datos del ejemplo 1: Σxᵢ² = 16 + 49 + 81 + 100 + 225 = 471, y n·x̄² = 5 × 81 = 405. La diferencia es 66, la misma suma del método largo. Ojo: con números grandes y muy parecidos (por ejemplo, 1,000,001 y 1,000,003), esta resta pierde precisión en hojas de cálculo; el método largo es más estable.
Cuándo no usarla
- Para comunicar la dispersión a un público general. «Varianza de 83.33 ml²» no se interpreta; la desviación estándar (9.13 ml) sí.
- Con valores atípicos fuertes. Al elevar al cuadrado, un solo dato extremo domina la suma. El rango intercuartílico o la desviación absoluta mediana resisten mejor.
- Para comparar variables de escalas distintas. La varianza de estaturas en cm y de pesos en kg no son comparables; usa el coeficiente de variación.
- Con datos ordinales (escalas de satisfacción del 1 al 5): las distancias entre categorías no son necesariamente iguales.
Errores comunes
- Dividir entre n con una muestra (o entre n − 1 con la población completa). En Excel,
=VAR.S()divide entre n − 1 y=VAR.P()entre n; en Google Sheets sonVARyVARP. - Olvidar elevar al cuadrado y obtener 0, porque las desviaciones simples siempre suman cero.
- Reportar la varianza con la unidad original (ml en lugar de ml²).
- Sacar la raíz de cada desviación al cuadrado antes de sumar: eso da la desviación media, otra medida distinta.
- Sumar varianzas de variables que no son independientes. La varianza de una suma solo es la suma de varianzas si no hay covarianza entre ellas.
La calculadora de varianza muestra la tabla de desviaciones y te deja elegir entre muestra y población.