La puntuación z (o puntaje estándar, valor tipificado) indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra un dato por encima o por debajo de la media de su grupo. Un z de +2 significa «dos desviaciones estándar arriba del promedio»; un z de −0.5, «media desviación por debajo». Al expresar cualquier dato en esa unidad común, la puntuación z permite comparar resultados medidos en escalas distintas (un examen de 100 puntos con otro de 20), detectar valores inusuales y, si los datos siguen una distribución normal, convertir el dato en un percentil.
Cómo se calcula
- Obtén la media del grupo (μ o x̄).
- Obtén la desviación estándar del grupo (σ o s).
- Resta la media al dato.
- Divide la diferencia entre la desviación estándar.
z = x − μσ
Despejando, puedes ir de z al valor original: x = μ + z · σ. Esa es la fórmula que se usa para fijar puntos de corte («aprobará quien quede 1 desviación arriba de la media»).
Al convertir todos los datos de un conjunto en puntuaciones z (estandarizar), las nuevas puntuaciones tienen media 0 y desviación estándar 1, pero conservan la forma de la distribución original: estandarizar no vuelve normal a una distribución sesgada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: ¿en qué examen te fue mejor?
Sacaste 78 en Matemáticas y 85 en Historia. Los resultados del grupo fueron:
| Materia | Tu nota | Media del grupo | Desviación estándar | z |
|---|---|---|---|---|
| Matemáticas | 78 | 65 | 10 | (78 − 65) ÷ 10 = 1.30 |
| Historia | 85 | 80 | 4 | (85 − 80) ÷ 4 = 1.25 |
Aunque la nota de Historia es más alta, en relación con tu grupo te fue un poco mejor en Matemáticas. Si las notas siguen aproximadamente una curva normal, z = 1.30 corresponde al percentil 90.3 y z = 1.25 al 89.4: casi empatados.
Ejemplo 2: estandarizar una lista completa
Ventas semanales de cinco vendedores (en miles de pesos): 52, 61, 70, 74 y 93. Media: 70. Desviación estándar muestral: ≈ 15.41.
| Vendedor | Ventas | z |
|---|---|---|
| A | 52 | −1.17 |
| B | 61 | −0.58 |
| C | 70 | 0.00 |
| D | 74 | 0.26 |
| E | 93 | 1.49 |
Ninguno pasa de |z| = 2, así que nadie es extraordinario en este grupo. El vendedor E destaca, pero con solo cinco datos una sola semana buena basta para producir ese z.
Ejemplo 3: de z a un valor de corte
Una escala de CI tiene media 100 y desviación estándar 15 por construcción. ¿Qué puntaje corresponde a z = 1.5? x = 100 + 1.5 × 15 = 122.5. ¿Y a z = −2? x = 100 − 2 × 15 = 70. En una normal, solo alrededor del 2.3 % de la población queda por debajo de z = −2.
Cómo leer una puntuación z
| z | Lectura | Proporción por debajo (si la distribución es normal) |
|---|---|---|
| −2 | Muy por debajo | 2.3 % |
| −1 | Por debajo | 15.9 % |
| 0 | Igual a la media | 50 % |
| 1 | Por encima | 84.1 % |
| 2 | Muy por encima | 97.7 % |
Sin el supuesto de normalidad, la desigualdad de Chebyshev garantiza solo que al menos 75 % de los datos están entre z = −2 y z = 2.
Cuándo no usarla
- Para obtener percentiles en datos muy asimétricos: en ingresos o tiempos de espera, la tabla normal da proporciones equivocadas. Calcula el percentil directamente.
- Con muy pocos datos: la media y la desviación estándar son inestables y el z también.
- Si la desviación estándar está inflada por atípicos: los propios atípicos «se esconden» porque agrandan el denominador. Una versión robusta usa la mediana y la desviación absoluta mediana.
- Para comparar datos de grupos muy distintos: un z alto en un grupo de principiantes no equivale a uno alto en un grupo de expertos.
Errores comunes
- Dividir entre la varianza en lugar de la desviación estándar.
- Olvidar el signo: z = −1.2 y z = 1.2 están a la misma distancia, pero en lados opuestos.
- Mezclar la desviación estándar muestral y la poblacional al comparar dos grupos.
- Pensar que |z| > 3 «demuestra» un error: indica un dato inusual que hay que revisar.
En Excel: =NORMALIZACION(x,media,desv) calcula z y =DISTR.NORM.ESTAND.N(z,VERDADERO) lo convierte en proporción (en España, separados con ;). La calculadora de puntuación z hace ambas cosas.