La distribución de Poisson da la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen, cuando esos eventos suceden de manera independiente y a un ritmo promedio constante. Su único parámetro es λ (lambda), el número promedio de eventos por intervalo. Sirve para preguntas como «si a un conmutador llegan en promedio 3 llamadas por minuto, ¿qué probabilidad hay de que en un minuto no llegue ninguna?» o «¿cuántas erratas cabe esperar en una página?». Una propiedad que la distingue de casi todas las demás: su media y su varianza son iguales, ambas valen λ.
Fórmula
P(X = k) = e−λ · λkk! · μ = σ² = λ
Aquí e ≈ 2.71828 y k! es el factorial de k (con 0! = 1). En Excel: =POISSON.DIST(k;λ;FALSO) para la probabilidad exacta y VERDADERO para la acumulada.
Cómo se calcula
- Confirma que cuentas eventos en un intervalo, que ocurren de uno en uno, de forma independiente y a ritmo constante.
- Ajusta λ al intervalo de la pregunta: si el promedio es 2 por semana y te preguntan por 4 semanas, λ = 8.
- Aplica la fórmula para cada valor de k que necesites.
- Para «al menos k», usa el complemento: 1 − P(X ≤ k − 1).
- Compara λ con lo que observas: si la varianza de tus conteos es mucho mayor que su media, el modelo de Poisson no encaja.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: llamadas a un conmutador
A un conmutador llegan en promedio 3 llamadas por minuto (λ = 3).
| k | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 0.050 |
| 1 | 0.149 |
| 2 | 0.224 |
| 3 | 0.224 |
| 4 | 0.168 |
- Ninguna llamada en un minuto: e⁻³ ≈ 0.050, uno de cada 20 minutos.
- 5 o más llamadas: 1 − (0.050 + 0.149 + 0.224 + 0.224 + 0.168) ≈ 0.185.
Si el conmutador solo puede atender 4 llamadas por minuto, casi uno de cada cinco minutos se saturará, aunque el promedio (3) esté por debajo de la capacidad. Planear con el promedio y no con la distribución es justo el error que la falacia del promedio describe.
Ejemplo 2: cambiar la escala del intervalo
En un cruce ocurren en promedio 2 choques por semana. ¿Qué probabilidad hay de que en 4 semanas haya 4 choques o menos?
- Ajusta λ: 2 × 4 = 8 choques esperados en 4 semanas.
- P(X ≤ 4) = e⁻⁸ (1 + 8 + 8²/2 + 8³/6 + 8⁴/24) ≈ 0.100.
Solo hay un 10 % de probabilidad de un mes tan tranquilo. Si ocurriera, no bastaría para concluir que el cruce mejoró: uno de cada diez meses lo haría por azar.
Ejemplo 3: aproximación a la binomial
Un lote tiene 1,000 tornillos y cada uno es defectuoso con probabilidad 0.002. La binomial exacta da P(0 defectuosos) ≈ 0.1351 y P(2) ≈ 0.2709. La Poisson con λ = 1,000 × 0.002 = 2 da 0.1353 y 0.2707. Cuando n es grande y p pequeña, la Poisson simplifica la cuenta sin perder precisión.
Cuándo no usarla
- Si los eventos llegan en grupos o se contagian: brotes de una enfermedad, compras en temporada de ofertas, quejas después de una falla. La varianza resulta mayor que la media (sobredispersión) y la Poisson subestima los extremos.
- Si el ritmo cambia dentro del intervalo: clientes en un restaurante entre las 13:00 y las 16:00. Divide en intervalos donde el ritmo sea estable.
- Si hay un máximo natural cercano: el número de alumnos que faltan en un grupo de 8 tiene tope; es más bien una binomial.
- Para el tiempo entre eventos: eso es una variable continua y su modelo es la distribución exponencial.
Errores comunes
- No ajustar λ al intervalo de la pregunta (usar 2 por semana para una pregunta sobre 4 semanas).
- Olvidar que 0! = 1 y que k = 0 también cuenta al calcular «como máximo».
- Aplicarla a datos donde se ve claramente que la varianza duplica o triplica a la media.
- Leer λ como el valor más probable: con λ = 3, los valores 2 y 3 son igual de probables, y con λ = 2.5 el más probable es 2.