La media geométrica de n números positivos es la raíz n-ésima de su producto. Responde a la pregunta «¿qué factor constante, aplicado n veces, produce el mismo resultado que estos factores distintos?». Por eso es el promedio correcto para tasas de crecimiento, rendimientos de inversiones, índices de precios y cualquier dato que se combine multiplicando en lugar de sumando. Siempre es menor o igual que la media aritmética de los mismos datos, y solo son iguales cuando todos los datos coinciden.
Cómo se calcula
- Verifica que todos los datos sean positivos. Con un cero el producto se anula; con negativos la raíz puede no existir.
- Si trabajas con porcentajes de cambio, conviértelos en factores: +10 % → 1.10, −20 % → 0.80.
- Multiplica todos los datos (o factores).
- Saca la raíz n-ésima del producto.
- Si partiste de porcentajes, resta 1 y multiplica por 100 para volver a porcentaje.
G = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ)
Con muchos datos el producto se vuelve enorme o diminuto. La forma equivalente con logaritmos evita ese problema y es la que usan las computadoras: promedia los logaritmos y deshaz el logaritmo al final.
G = exp( Σ ln xᵢn )
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: rendimiento promedio de una inversión
Una inversión rindió +10 % el primer año, +50 % el segundo y −20 % el tercero.
- Factores: 1.10, 1.50 y 0.80. Producto: 1.10 × 1.50 × 0.80 = 1.32.
- Raíz cúbica: ∛1.32 ≈ 1.0970.
- Rendimiento promedio anual: 9.70 %.
Comprobación: 1.0970³ ≈ 1.32, igual que el crecimiento real. El promedio aritmético de los porcentajes, (10 + 50 − 20) ÷ 3 = 13.33 %, aplicado tres años daría 1.1333³ ≈ 1.456: un 45.6 % de ganancia que nunca ocurrió. Este cálculo es la base de la tasa de crecimiento anual compuesta.
Ejemplo 2: comparar con puntuaciones en escalas distintas
Dos computadoras se prueban con dos benchmarks. El primero da puntajes de cientos; el segundo, de miles.
| Equipo | Prueba 1 | Prueba 2 | Media aritmética | Media geométrica |
|---|---|---|---|---|
| A | 200 | 3,000 | 1,600 | 774.6 |
| B | 300 | 2,200 | 1,250 | 812.4 |
La media aritmética declara ganador a A solo porque la prueba 2 usa números más grandes: domina la suma. La geométrica trata cada prueba en proporción: B es 50 % mejor en la primera y 26.7 % peor en la segunda, y en conjunto resulta √(1.5 × 0.733) ≈ 1.049 veces mejor que A. Además, el ganador no cambia si una prueba se reescala (por ejemplo, si se multiplica por 10), algo que la media aritmética no garantiza.
Dónde se usa
- Finanzas: rendimiento promedio anual de un fondo, crecimiento de ventas o de población entre dos años.
- Índices: varios índices de precios al consumidor combinan los precios de cada rubro con medias geométricas.
- Ciencia: concentraciones de bacterias o de contaminantes, que varían en órdenes de magnitud.
- Datos con distribución log-normal: la media geométrica estima la mediana de la distribución log-normal.
En Excel y Google Sheets la función es =MEDIA.GEOM(A2:A10). Para porcentajes, aplícala a los factores: =MEDIA.GEOM(1+B2:B4)-1 (en versiones antiguas, como fórmula matricial). En España el separador es ; y los factores se escriben con coma decimal (1,10).
Cuándo no usarla
- Con ceros o negativos. Un año con −100 % (pérdida total) da factor 0 y la media es 0, lo cual es correcto pero inútil para comparar. Datos como temperaturas en °C, que pueden ser negativas, no admiten media geométrica.
- Con cantidades que se suman. Para promediar estaturas, gastos o calificaciones, la media aritmética es la que conserva el total.
- Para velocidades o precios con monto fijo: ahí corresponde la media armónica.
- Con porcentajes que no son de cambio. El porcentaje de aprobados de tres grupos se combina con un promedio ponderado, no con la geométrica.
Errores comunes
- Aplicar la fórmula a los porcentajes (10, 50, −20) en lugar de a los factores (1.10, 1.50, 0.80).
- Olvidar restar 1 al final y reportar «109.7 %» como rendimiento.
- Sacar raíz cuadrada en lugar de raíz n-ésima cuando hay más de dos datos.
- Usar como n el número de precios en lugar del número de periodos: entre el precio de 2020 y el de 2025 hay 5 periodos, no 6.
La calculadora de media geométrica acepta datos o porcentajes de cambio. Para ver cómo se ordena frente a la aritmética, la armónica y la cuadrática, revisa la media generalizada.