La curtosis mide qué tanto peso tienen las colas de una distribución, es decir, qué tan frecuentes son los valores muy alejados de la media en comparación con una distribución normal de la misma varianza. Una distribución con curtosis alta produce valores extremos más a menudo de lo que la campana de Gauss predeciría; una con curtosis baja casi no los tiene. Se suele reportar como exceso de curtosis, restando 3 para que la normal valga cero: así, un valor positivo indica colas pesadas y uno negativo colas ligeras.
Según ese exceso, las distribuciones se clasifican en:
- Leptocúrtica (exceso > 0): colas pesadas y, por lo general, un pico estrecho. Ejemplos: rendimientos diarios de acciones, tiempos de respuesta de un servidor.
- Mesocúrtica (exceso ≈ 0): como la normal.
- Platicúrtica (exceso < 0): colas ligeras, forma más plana. Ejemplo: la distribución uniforme, cuyo exceso es −1.2.
Fórmula
La curtosis es el cuarto momento (el promedio de las desviaciones a la cuarta potencia) dividido entre el cuadrado de la varianza. Al elevar a la cuarta, las desviaciones pequeñas casi desaparecen y las grandes dominan el resultado: por eso la curtosis informa sobre las colas, no sobre el centro.
g₂ = (1/n) Σ (xᵢ − x̄)⁴[(1/n) Σ (xᵢ − x̄)²]² − 3
Cómo se calcula
- Calcula la media y las desviaciones de cada dato.
- Eleva cada desviación al cuadrado y a la cuarta potencia.
- Promedia ambas columnas: obtienes m₂ y m₄.
- Divide m₄ entre m₂².
- Resta 3 para obtener el exceso de curtosis.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: casi todos iguales y dos extremos
Ocho mediciones: 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5 y 9. La media es 5.
- Desviaciones: −4, 0, 0, 0, 0, 0, 0 y 4.
- Cuadrados: 16 y 16 (el resto, cero); m₂ = 32 ÷ 8 = 4.
- Cuartas potencias: 256 y 256; m₄ = 512 ÷ 8 = 64.
- g₂ = 64 ÷ 4² − 3 = 4 − 3 = 1.
Exceso positivo: leptocúrtica. Los datos se concentran en un punto y la poca variación que hay viene de dos valores lejanos.
Ejemplo 2: datos repartidos de manera pareja
Ocho mediciones: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. La media es 4.5.
- m₂ = (3.5² + 2.5² + 1.5² + 0.5²) × 2 ÷ 8 = 42 ÷ 8 = 5.25.
- m₄ = (3.5⁴ + 2.5⁴ + 1.5⁴ + 0.5⁴) × 2 ÷ 8 = 388.5 ÷ 8 = 48.5625.
- g₂ = 48.5625 ÷ 5.25² − 3 = 48.5625 ÷ 27.5625 − 3 ≈ 1.762 − 3 = −1.24.
Exceso negativo: platicúrtica. No hay valores que destaquen; todos están igual de repartidos, como en una distribución uniforme.
La función CURTOSIS de Excel aplica una corrección para muestras y da 3.5 en el ejemplo 1 y −1.2 en el 2. La corrección pesa mucho con pocos datos y casi nada con cientos.
Para qué sirve
La curtosis importa cuando los extremos tienen consecuencias. En finanzas, una cartera cuyos rendimientos son leptocúrticos sufre caídas grandes con más frecuencia de la que sugiere su desviación estándar. En control de calidad, una curtosis alta advierte que los defectos graves no son tan raros como supone un modelo normal. Y antes de usar métodos que suponen normalidad, como la distribución t de Student con muestras pequeñas, conviene revisar que la curtosis no sea extrema.
Cuándo no usarla
- Con muestras chicas. Al depender de la cuarta potencia, un solo dato cambia el resultado drásticamente. Con menos de 50 datos, mira el diagrama de caja y el histograma antes que el número.
- Para describir «qué tan picuda» es la gráfica. Es la interpretación clásica de los libros, pero es imprecisa: dos distribuciones con el mismo pico pueden tener curtosis muy distinta por sus colas.
- Con datos discretos de pocas categorías, como respuestas de 1 a 5, donde no hay colas que medir.
Errores comunes
- No aclarar si se reporta la curtosis (normal = 3) o el exceso de curtosis (normal = 0). Muchos programas usan el exceso sin decirlo; Excel lo hace.
- Confundir curtosis con asimetría: una distribución puede ser perfectamente simétrica y tener colas pesadísimas.
- Interpretar una curtosis alta como «poca variación» porque el centro se ve estrecho; la varianza puede ser grande por culpa de las colas.