La sumatoria es una notación abreviada para escribir la suma de muchos términos que siguen un patrón. Se representa con la letra griega sigma mayúscula, Σ, y aparece en casi todas las fórmulas de estadística: la media es Σxᵢ ÷ n, la varianza es Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1), el promedio ponderado es Σwᵢxᵢ ÷ Σwᵢ. Saber leerla es la diferencia entre aplicar una fórmula de memoria y entender qué hace. La idea es simple: Σ dice «suma», lo que está debajo y arriba del símbolo dice desde dónde hasta dónde, y lo que está a la derecha dice qué sumar en cada paso.
Cómo se lee
Σi=1n xᵢ = x₁ + x₂ + … + xₙ
- El índice (aquí, i) es un contador. Puede llamarse i, j o k; la letra no cambia el resultado.
- El límite inferior (i = 1) es el primer valor del contador.
- El límite superior (n) es el último.
- El término general (xᵢ) es lo que se suma en cada paso, sustituyendo i por 1, 2, 3…
- Cuando los límites se omiten, como en «Σxᵢ», se entiende que la suma recorre todos los datos.
Propiedades que se usan todo el tiempo
| Propiedad | Escritura | Ejemplo con n = 4 |
|---|---|---|
| Sumar una constante n veces | Σ c = n · c | Σ 5 = 20 |
| Sacar una constante | Σ c·xᵢ = c · Σ xᵢ | Σ 3xᵢ = 3 Σ xᵢ |
| Separar una suma | Σ (xᵢ + yᵢ) = Σ xᵢ + Σ yᵢ | — |
| Suma de los primeros n enteros | Σ i = n(n + 1) ÷ 2 | 1 + 2 + 3 + 4 = 10 |
Lo que no se puede hacer: separar productos o cuadrados. Σ xᵢyᵢ no es (Σ xᵢ)(Σ yᵢ), y Σ xᵢ² no es (Σ xᵢ)².
Gracias a estas propiedades se demuestra, por ejemplo, que las desviaciones respecto a la media suman cero: Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − n·x̄ = n·x̄ − n·x̄ = 0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: tres sumas distintas con los mismos datos
Datos: x₁ = 3, x₂ = 7, x₃ = 2, x₄ = 8, x₅ = 5.
- Σ xᵢ = 3 + 7 + 2 + 8 + 5 = 25. La media es 25 ÷ 5 = 5.
- Σ xᵢ² = 9 + 49 + 4 + 64 + 25 = 151.
- (Σ xᵢ)² = 25² = 625.
151 y 625 son muy distintos: la posición del exponente importa. Combinando ambas se obtiene la suma de cuadrados de la varianza: Σxᵢ² − (Σxᵢ)² ÷ n = 151 − 625 ÷ 5 = 26.
Ejemplo 2: un término general con el índice
Calcula Σ (2i + 1) para i desde 1 hasta 4.
- i = 1: 3. i = 2: 5. i = 3: 7. i = 4: 9.
- Suma: 3 + 5 + 7 + 9 = 24.
Con propiedades: Σ(2i + 1) = 2·Σi + Σ1 = 2 × 10 + 4 = 24. Este segundo camino escala: para i de 1 a 100 da 2 × 5,050 + 100 = 10,200 sin escribir cien términos. La suma 1 + 2 + … + 100 = 5,050 es la que, según la anécdota, resolvió Gauss de niño emparejando el primero con el último.
Ejemplo 3: leer una tabla como sumatoria
En una tabla de frecuencias con valores xᵢ y frecuencias fᵢ, la fórmula Σfᵢxᵢ ÷ Σfᵢ indica: multiplica cada valor por su frecuencia, suma esos productos y divide entre la suma de frecuencias. Con valores 1, 2 y 3 y frecuencias 4, 5 y 1:
- Σ fᵢxᵢ = 4 + 10 + 3 = 17.
- Σ fᵢ = 10.
- Resultado: 1.7. Es la media con frecuencias, y la misma estructura que el promedio ponderado.
Cuándo no hace falta
- Para explicar un cálculo a alguien sin formación matemática: «suma todos y divide entre cuántos son» comunica lo mismo que Σxᵢ ÷ n.
- En hojas de cálculo: la función
=SUMA()es la sumatoria;=SUMA.CUADRADOS()calcula Σxᵢ² y=SUMAPRODUCTO()calcula Σxᵢyᵢ. En España se separan los argumentos con;.
Errores comunes
- Confundir Σxᵢ² con (Σxᵢ)².
- Sacar de la sumatoria algo que depende del índice: en Σ i·xᵢ, la i no es constante.
- Sumar desde i = 0 cuando la fórmula dice i = 1, y agregar un término de más.
- Olvidar que Σ c = n·c y escribir Σ c = c.
- Dividir dentro de la sumatoria cuando la fórmula divide fuera: Σ(xᵢ ÷ n) da lo mismo que (Σxᵢ) ÷ n, pero Σ(xᵢ ÷ yᵢ) no es Σxᵢ ÷ Σyᵢ.
Si quieres practicar con la sumatoria aplicada a promedios, la guía de cómo sacar el promedio tiene ejercicios resueltos de todos los tipos.